Optymalizacja na maturze podstawowej 2026: Zdobądź 4 punkty w 4 prostych krokach

Ostatnie zadanie w arkuszu – dlaczego nie warto go omijać?

Kiedy otwierasz arkusz maturalny i docierasz do ostatnich stron, zazwyczaj wita Cię rozbudowane zadanie z geometrii, na widok którego większość maturzystów od razu traci zapał. „Wyznacz takie wymiary, dla których pole jest największe” – brzmi groźnie, prawda? W rzeczywistości optymalizacja na maturze podstawowej to jeden z najbardziej przewidywalnych pewniaków. Zawsze opiera się na tym samym, niezmiennym schemacie.

Zadanie optymalizacyjne w Formule 2023 jest warte aż 4 punkty (to prawie 10% całego egzaminu!). Nawet jeśli nie potrafisz rozwiązać go do końca, wystarczy wykonać początkowe kroki, aby zgarnąć punkty cząstkowe. Głównym celem tego typu zadań jest po prostu ułożenie funkcji kwadratowej i znalezienie jej wierzchołka. Zgadza się – cała ta straszna „optymalizacja” sprowadza się do znalezienia czubka paraboli!

Złoty schemat: 4 kroki do 4 punktów

Nie musisz być mistrzem wyobraźni przestrzennej. Wystarczy, że zaufasz poniższej procedurze. Każde zadanie z optymalizacji na poziomie podstawowym poprowadzi Cię dokładnie tą samą ścieżką.

Rozwiązanie prawdziwego zadania z arkusza CKE krok po kroku

Teoria teorią, ale zobaczmy, jak ten schemat sprawdza się w praktyce. Weźmy na warsztat realne zadanie z oficjalnych arkuszy próbnych na maj:

Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4, a suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15. Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Wyznacz wzór funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.

Krok 1: Wypisz dane i uzależnij od jednej zmiennej

Z wierzchołka B wychodzą trzy krawędzie: długość, szerokość i wysokość. W zadaniu podali nam jedną z nich: krawędź BC = 4. Drugą krawędź kazali oznaczyć jako x (AB = x). Trzecią krawędzią jest wysokość (nazwijmy ją h).

Z treści wiemy, że suma tych trzech krawędzi to 15. Zapiszmy to prostym równaniem:
x + 4 + h = 15

Teraz musimy zostawić h samo po lewej stronie, przenosząc resztę na prawo:
h = 15 - 4 - x
h = 11 - x

W ten sposób mamy wszystkie trzy wymiary wyrażone za pomocą liczb i jednej zmiennej x: to są x, 4 oraz 11 - x.

Krok 2: Ułóż wzór funkcji

Pytają o pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu. Przypominamy sobie wzór z karty wzorów (lub z logiki: to sześć prostokątów). Mamy dwie podstawy i cztery ściany boczne parami równe. Wzór to:
P = 2 * (a * b) + 2 * (a * c) + 2 * (b * c)

Podstawiamy nasze wymiary (czyli x, 4 oraz 11 - x):
P(x) = 2 * (x * 4) + 2 * (x * (11 - x)) + 2 * (4 * (11 - x))

Teraz najzwyklejsze w świecie mnożenie. Bez pośpiechu:
P(x) = 8x + 2x(11 - x) + 8(11 - x)
P(x) = 8x + 22x - 2x² + 88 - 8x

Porządkujemy, zaczynając od najwyższej potęgi:
P(x) = -2x² + 22x + 88

Gratulacje! Właśnie ułożyłeś funkcję kwadratową, która opisuje pole tego prostopadłościanu. Za ten krok masz już gwarantowane punkty.

Krok 3: Policz wierzchołek paraboli

Widzisz, że przy x² stoi liczba na minusie (-2). Oznacza to, że nasza parabola ma ramiona skierowane w dół, więc na samym szczycie osiąga swoją wartość największą. I o to dokładnie pytało CKE!

Szukamy argumentu p (zwanego też x_w), dla którego funkcja przyjmuje maksimum. Odpalamy kartę wzorów i znajdujemy:
p = -b / (2a)

Nasze parametry z funkcji P(x) = -2x² + 22x + 88 to: a = -2, b = 22. Podstawiamy:
p = -22 / (2 * (-2)) = -22 / -4 = 5,5

Wynik to x = 5,5.

Krok 4: Sprawdź dziedzinę i zapisz odpowiedź

Sprawdzamy, czy nasze x = 5,5 mieści się w dziedzinie, którą ustaliliśmy na początku (x ∈ (0, 11)). Mieści się idealnie!

Teraz czytamy ostatnie zdanie polecenia: "Oblicz długość x krawędzi AB tego z prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe."Pytali tylko o x, więc zadanie jest skończone! Jeśli zapytaliby o maksymalne pole, musielibyśmy nasze x = 5,5 wstawić z powrotem do wzoru funkcji na P(x) (czyli policzyć q). Tutaj jednak tego nie wymagają.

Odpowiedź: Długość krawędzi AB wynosi 5,5.

Gdzie maturzyści tracą cenne punkty?

Choć schemat jest prosty, stres często robi swoje. Zobacz, na czym najłatwiej się wyłożyć i jak tego uniknąć na swoim arkuszu.

Zadania za 4 punkty to nie miejsce na improwizację, ale pole do popisania się chłodną głową i znajomością procedur. Z każdym przerobionym przykładem będziesz układać równania szybciej, a liczenie wierzchołka stanie się czystą formalnością. Nie zostawiaj takich zadań pustych – zawsze próbuj zapisać chociaż dziedzinę i ułożyć równanie.

Jeśli chcesz przetrenować więcej takich pewniaków i zobaczyć, jak krok po kroku rozwiązuję najtrudniejsze przypadki z optymalizacji, zapraszam Cię do dedykowanego modułu w moim kursie maturalnym!